5_Epiplolar_Geometry

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CS231A笔记
文章截图大多来自斯坦福CS231A课程;

1 基本概念

  • 相机的旋转矩阵： 正交矩阵

  • 极点

  • 极线

  • 极平面

  • 【推荐文章】： 对极几何（Epipolar Geometry）

  • 叉乘：两个向量的叉乘可以由一个向量的斜对称矩阵和另一向量的积；

1.1 特点

  • 前向平移—极点都处于同一位置

1.2 本质矩阵

  • 相机是 标准相机：K = I

由图中可以看出，p经过变换得到p’:

得到：

通过叉乘：可以将上个式子变成：

  • 定义：

为本质矩阵（The Essential Matrix）：

3*3的矩阵；
自由度： 5（3:Rotation 2:translation）
rank : 2 ,奇异矩阵

用处

  1. 计算p 和 p’的极线


表示：p被E投射到 第二幅图像上的极线l’上；

表示：p’被E投射到 第一幅图像上的极线l上；

  1. 极点和矩阵的联系

1.3 基本矩阵（Fundamental Matrix）

  • 相机是非标准的；


对应两个相机，两个相机的投影矩阵为：

定义世界坐标系 相机坐标系中的点P在两个位置的相机图片上的投影为：

根据本质矩阵得到：

推导出，两个相机的位置变换：

其中：


F就被称为： 基本矩阵

  • 3* 3 矩阵
  • 奇异矩阵 Rank :2
  • 包含R, T；
  • 包含 相机参数 K,K’
  • 自由度 ： 7 ()

用处
基本矩阵已知，已知一张图片上一点和另一张图片上的对应点， 就可以求出p和p’的对应关系；

自由度的分析

#2 THE Eight-Point 算法

2.1 八点算法

  • 给予两张图片，没有相机内外参数；

  • 求出基本矩阵

  • 方法： _Eight-Point 算法_

  1. 至少8对 对应点

则每队对对应点满足：

即：


展开，可以得到：

对于所有对应点，使用一下公式：

简写为：

  • W ： N*9 矩阵 ， N: 对应对的数量
  • f: 基本矩阵

3.2 Normalized Eight-Point算法

标准的8点算法存在的问题：

  • p点， 和通过基本矩阵将点p’映射到的极线上l= Fp’，两者的距离很大；点和极线之间的均值误差如下：

  • 8个对应点组成的矩阵W： 最好只有一个奇异值为0或者近似为0,其他的都为非零；这样能够使得svd效果好；
  • 像素值的范围过大；如pi = (1832; 1023;)

解决方法：

  • 归一化像素点
      1. 新坐标系的原点应该位于图像点的质心处（平移）；
        表示为：

  • 其次，变换后的图像点距原点的均方距离应为2像素（缩放）

如图所示，

然后用新坐标系下的图像应用8点算法计算出Fq；

然后通过反归一化，获得真实的基本矩阵；